1五年(2019-2023)年高考真题分项汇编专题05立体几何(解答题)立体几何在文科数高考中属于重点知识点,难度中等。解答题主要是求几何体的体积为主,通常采用的方法是换底换高,对于求高题目主要是等体积法的应用。一、解答题1.(2023·全国·统考高考甲卷)如图,在三棱锥中,,,,,的中点分别为,点在上,.(1)求证://平面;(2)若,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据给定条件,证明四边形为平行四边形,再利用线面平行的判定推理作答.(2)作出并证明为棱锥的高,利用三棱锥的体积公式直接可求体积.【详解】(1)连接,设,则,,,则,2解得,则为的中点,由分别为的中点,于是,即,则四边形为平行四边形,,又平面平面,所以平面.(2)过作垂直的延长线交于点,因为是中点,所以,在中,,所以,因为,所以,又,平面,所以平面,又平面,所以,又,平面,所以平面,即三棱锥的高为,因为,所以,所以,又,所以.2.(2023·全国·统考高考乙卷)如图,在三棱柱中,平面.3(1)证明:平面平面;(2)设,求四棱锥的高.【答案】(1)证明见解析.(2)【分析】(1)由平面得,又因为,可证平面,从而证得平面平面;(2)过点作,可证四棱锥的高为,由三角形全等可证,从而证得为中点,设,由勾股定理可求出,再由勾股定理即可求.【详解】(1)证明:因为平面,平面,所以,又因为,即,平面,,所以平面,又因为平面,所以平面平面.(2)如图,过点作,垂足为.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,4所以四棱锥的高为.因为平面,平面,所以,,又因为,为公共边,所以与全等,所以.设,则,所以为中点,,又因为,所以,即,解得,所以,所以四棱锥的高为.3.(2022·全国·统考高考乙卷题)如图,四面体中,,E为AC的中点.(1)证明:平面平面ACD;(2)设,点F在BD上,当的面积最小时,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明详见解析(2)【分析】(1)通过证明平面来证得平面平面.(2)首先判断出三角形的面积最小时点的位置,然后求得到平面的距离,从而求得三棱锥的体积.【详解】(1)由于,是的中点,所以.5由于,所以,所以,故,由于,平面,所以平面,由于平面,所以平面平面.(2)[方法一]:判别几何关系依题意,,三角形是等边三角形,所以,由于,所以三角形是等腰直角三角形,所以.,所以,由于,平面,所以平面.由于,所以,由于,所以,所以,所以,由于,所以当最短时,三角形的面积最小过作,垂足为,在中,,解得,所以,所以过作,垂足为,则,所以平面,且,所以,所以.6[方法二]:等体积转换,,是边长为2的等边三角形,连接4.(2022·全国·统考高考甲卷)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面是边长为8(单位:)的正方形,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直.7(1)证明:平面;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)分别取的中点,连接,由平面知识可知,,依题从而可证平面,平面,根据线面垂直的性质定理可知,即可知四边形为平行四边形,于是,最后根据线面平行的判定定理即可证出;(2)再分别取中点,由(1)知,该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍,即可解出.【详解】(1)如图所示:分别取的中点,连接,因为为全等的正三角形,所以,,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,同理可得平面,根据线面垂直的性质定理可知,而,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)[方法一]:分割法一如图所示:分别取中点,由(1)知,且,同理有,,8,,由平面知识可知,,,,所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍.因为,,点到平面的距离即为点到直线的距离,,所以该几何体的体积.[方法二]:分割法二如图所示:连接AC,BD,交于O,连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍.容易求得,OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P,连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知,三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体...