五年(2019-2023)年高考真题分项汇编专题03导数及应用(选填题)函数导数应用是高考必考知识点考点01利用导数求函数单调性,极值最值一、单选题1.(2023年全国新高考Ⅱ卷)已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为().A.B.eC.D.【答案】C【分析】根据在上恒成立,再根据分参求最值即可求出.【详解】依题可知,在上恒成立,显然,所以,设,所以,所以在上单调递增,,故,即,即a的最小值为.故选:C.2.(2021年全国新高考Ⅰ卷)若过点可以作曲线的两条切线,则()A.B.C.D.【答案】D【分析】解法一:根据导数几何意义求得切线方程,再构造函数,利用导数研究函数图象,结合图形确定结果;解法二:画出曲线的图象,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点,对函数求导得,所以,曲线在点处的切线方程为,即,由题意可知,点在直线上,可得,令,则.当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,所以,,由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则,当时,,当时,,作出函数的图象如下图所示:由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点.故选:D.解法二:画出函数曲线的图象如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选:D.3.(2020年全国高考Ⅰ卷)函数的图像在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【分析】求得函数的导数,计算出和的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.【详解】,,,,因此,所求切线的方程为,即.故选:B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题4.(2020年全国高考Ⅲ卷)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+【答案】D【详解】设直线在曲线上的切点为,则,函数的导数为,则直线的斜率,设直线的方程为,即,由于直线与圆相切,则,两边平方并整理得,解得,(舍),则直线的方程为,即.故选:D.5.(2019年全国高考Ⅲ卷)已知曲线在点处的切线方程为,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】通过求导数,确定得到切线斜率的表达式,求得,将点的坐标代入直线方程,求得.【详解】详解:,将代入得,故选D.【点睛】本题关键得到含有a,b的等式,利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.二、填空题6.(2023·全国乙卷)设,若函数在上单调递增,则a的取值范围是______.【答案】【分析】原问题等价于恒成立,据此将所得的不等式进行恒等变形,可得,由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式,求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立,则,即在区间上恒成立,故,而,故,故即,故,结合题意可得实数的取值范围是.故答案为:.7.(2022全国乙卷)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是____________.【答案】【分析】法一:依题可知,方程的两个根为,即函数与函数的图象有两个不同的交点,构造函数,利用指数函数的图象和图象变换得到的图象,利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率,根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]:【最优解】转化法,零点的问题转为函数图象的交点因为,所以方程的两个根为,即方程的两个根为,即函数与函数的图象有两个不同的交点,因为分别是函数的极小值点和极大值点,所以函数在和上递减,在上递增,所以当时,,即图象在上方当时,,即图象在下方,图象显然不符合题意,所以.令,则,设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为,则切线的斜率为,故切线方程为,则有,解得,则切线的斜率为,因为函数与函数的图象有两个不同的交点,所以,解得,又,所以,综上所述,的取值范围为.[方法二]:【通性通法】构造新函数,二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点,所以函数在和上递减,在上递增,设函数,则,若,则在上单调递增,此时若,则在上单调递减,在上单调递增,此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点,则,不符合题意;若,则在上单调递减,此时若,则在上单调递增,在上单调递减,令,则,此时...