绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，.若,则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（2）复数（A）（B）（C）（D）（3）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（A）（B）（C）（D）（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）（B）（C）（D）数学（理）（北京卷）第1页（共5页）第1页|共5页4i开始是否输出结束（5）如图，分别与圆切于点，延长与圆交于另一点。给出下列三个结论：①；②；③其中，正确结论的序号是（A）①②（B）②③（C）①③（D）①②③（6）根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时15分钟，那么和的值分别是（A）（B）（C）（D）（7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（A）8（B）（C）10（D）（8）设，，，（），记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（A）（B）（C）（D）第2页|共5页正（主）视图侧（左）视图俯视图443数学（理）（北京卷）第2页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在中，若，，则；。（10）已知向量，，，若与共线，则。（11）在等比数列中，若，，则公比；。（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个。（用数字作答）（13）已知函数过关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是。（14）曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线过坐标原点；②曲线关于坐标原点对称；③若点在曲线上，则的面积不大于；其中，所有正确结论的序号是。第3页|共5页数学（理）（北京卷）第3页（共5页）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数，（I）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值；（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，。（I）求证：平面（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长；（17）（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以表示。990891110（I）如果，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望；注：方差，其中为的平均数第4页|共5页乙组甲组数学（理）（北京卷）第4页（共5页）（18）（本小题共13分）已知函数。（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围；（19）（本小题共14分）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点，（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）将表示为的函数，并求的最大值；（20）（本小题共13分）若数列（）满足，则称为数列，记。（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；（Ⅱ）若，证明数列是递增数列的充要条件是；（Ⅲ）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得，如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由。、第5页|共5页
