2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若2log0a,1()12b,则【】A.1a,0bB.1a,0bC.01a,0bD.01a,0b2.对于非零向量,,ab“0ab”是“//ab”的【】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.将函数sinyx的图象向左平移(02)个单位后,得到函数sin()6yx的图象,则等于【】A.6B.56C.76D.1164.如图1,当参数12,时,连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C,则【】A.120B.210C.120D.2105.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为【】A.85B.56C.49D.286.已知D是由不等式组20,30xyxy所确定的平面区域,则圆224xy在区域D内的弧长为第1页|共5页图1c2c1oyxC1D1B1A1DCBA【】A.4B.2C.34D.327.正方体1111ABCDABCD的棱上到异面直线AB,C1C的距离相等的点的个数为【】A.2B.3C.4D.58.设函数()yfx在(,)内有定义.对于给定的正数K,定义函数(),(),(),().KfxfxKfxKfxK取函数()fx2xxe。若对任意的(,)x,恒有()Kfx()fx,则【】A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___.10.在3333(1)(1)(1)xxx的展开式中,x的系数为___(用数字作答).11.若(0,)2x,则2tantan()2xx的最小值为.12.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60,则双曲线C的离心率为13.一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128,则总体中的个体数为。14.在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6,BC=8,CA=10,则(1)球心到平面ABC的距离为;(2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为.第2页|共5页15.将正ABC分割成2*(2,)nnnN个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()fn,则有(2)2f,(3)f,…,()fn.BACABC图3图2三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)在ABC中,已知2233ABACABACBC,求角A,B,C的大小17.(本小题满分12分)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12,13,16.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(II)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求的分布列及数学期望。18.(本小题满分12分)如图4,在正三棱柱111ABCABC中,12ABAA,第3页|共5页ABCDA1B1C1E点D是11AB的中点,点E在11AC上,且DEAE(I)证明:平面ADE平面11ACCA;(II)求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。19.(本小题满分13分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y万元。(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式;(Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?20...