2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,复数的实部为,虚部为1,则的取值范围是(C)A.B.C.D.2.记等差数列的前项和为,若,,则(D)A.16B.24C.36D.483.某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表1.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为(C)A.24B.18C.16D.12表14.若变量满足则的最大值是(C)A.90B.80C.70D.405.将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为(A)6.已知命题所有有理数都是实数,命题正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是(D)A.B.C.D.7.设,若函数,有大于零的极值点,则(B)A.B.C.D.第1页|共4页一年级二年级三年级女生373男生377370EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEA.BEB.BEC.BED.开始1in整除a?是输入结束ami输出1ii图3否8.在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则(B)A.B.C.D.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~12题)9.阅读图3的程序框图,若输入,,则输出,“(注:框图中的赋值符号”“也可以写成”“或”)10.已知(是正整数)的展开式中,的系数小于120,则.11.经过圆的圆心,且与直线垂直的直线方程是.12.已知函数,,则的最小正周期是.二、选做题(13—15题,考生只能从中选做两题)13.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程分别为,,则曲线与交点的极坐标为.14.(不等式选讲选做题)已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是.15.(几何证明选讲选做题)已知是圆的切线,切点为,.是圆的直径,与圆交于点,,则圆的半径.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)已知函数,的最大值是1,其图像经过点.(1)求的解析式;(2)已知,且,,求的值.第2页|共4页17.(本小题满分13分)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为.(1)求的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为,一等品率提高为.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?18.(本小题满分14分)设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).19.(本小题满分14分)设,函数,,,试讨论函数的单调性.第3页|共4页20.(本小题满分14分)如图5所示,四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形,其中是圆的直径,,,垂直底面,,分别是上的点,且,过点作的平行线交于.(1)求与平面所成角的正弦值;(2)证明:是直角三角形;(3)当时,求的面积.21.(本小题满分12分)设为实数,是方程的两个实根,数列满足,,(…).(1)证明:,;(2)求数列的通项公式;(3)若,,求的前项和.第4页|共4页FCPGEAB图5D