2007年湖南高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分150分.考试用时120分钟.参考公式:如果事件、互斥,那么如果事件、相互独立,那么如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是球的体积公式,球的表面积公式,其中表示球的半径一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数等于()A.B.C.D.2.不等式的解集是()A.B.C.D.3.设是两个集合,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.设是非零向量,若函数的图象是一条直线,则必有()A.B.C.D.5.设随机变量服从标准正态分布,已知,则=()A.0.025B.0.050C.0.950D.0.9756.函数的图象和函数的图象的交点个数是()A.4B.3C.2D.17.下列四个命题中,不正确的是()第1页|共13页A.若函数在处连续,则B.函数的不连续点是和C.若函数,满足,则D.8.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为()A.B.C.D.9.设分别是椭圆()的左、右焦点,若在其右准线上存在使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.10.设集合,都是的含两个元素的子集,且满足:对任意的,(,),都有(表示两个数中的较小者),则的最大值是()A.10B.11C.12D.13二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在横线上.11.圆心为且与直线相切的圆的方程是.12.在中,角所对的边分别为,若,b=,,,则.13.函数在区间上的最小值是.第2页|共13页14.设集合,,,(1)的取值范围是;(2)若,且的最大值为9,则的值是.15.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图1所示的0-1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第次全行的数都为1的是第行;第61行中1的个数是.第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……………………………………………图1三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数,.(I)设是函数图象的一条对称轴,求的值.(II)求函数的单调递增区间.17.(本小题满分12分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.(I)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;(II)任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列和期望.18.(本小题满分12分)如图2,分别是矩形的边的中点,是上的一点,将,分别沿翻折成,,并连结,使得平面平面,,且.连结,如图3.第3页|共13页AEBCFDG1G2GDFCBAE图2图3(I)证明:平面平面;(II)当,,时,求直线和平面所成的角.19.(本小题满分12分)如图4,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点和居民区的公路,点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为(),且,点到平面的距离(km).沿山脚原有一段笔直的公路可供利用.从点到山脚修路的造价为万元/km,原有公路改建费用为万元/km.当山坡上公路长度为km()时,其造价为万元.已知,,,.(I)在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小;(II)对于(I)中得到的点,在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小.(III)在上是否存在两个不同的点,,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.20.(本小题满分12分)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;(II)在轴上是否存在定点,使·为常数?若存在,求出点的坐标;若不第4页|共13页存在,请说明理由.21.(本小题满分13分)已知()是曲线上的点,,是数列的前项和,且满足,,…...