2019年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？解：（1）令=0，解得x1=1，x2=–7．∴A（1，0），B（–7，0）．由y==得，D（–3，–2）；（2） DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF=∠DD1F=90°， ∠D1FD=∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴， D（–3，–2），∴D1D=2，OD=3， AC=CF，CO⊥AF，∴OF=OA=1，∴D1F=D1O–OF=3–1=2，∴，∴OC=，∴CA=CF=FA=2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC=∠ACF， △CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF=∠AFC=60°，∴EC∥BF， EC=DC==6， BF=6，∴EC=BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3） 点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，），①当点P在B点的左侧时， △PAM与△DD1A相似，∴或，∴或，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–11或x1=1（不合题意舍去）x2=–；当点P在A点的右侧时， △PAM与△DD1A相似，∴或，∴或，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–（不合题意舍去）；当点P在AB之间时， △PAM与△DD1A相似，∴=或=，∴或，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–；综上所述，点P的横坐标为–11或–或–；②由①得，这样的点P共有3个．2．（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．解：（1） OB=OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，对称轴为x=1．（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC、DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，取点A′（-1，1），则A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AEA′D+DC′A′C′．（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，又 S△PCB∶S△PCAEB×（yC-yP）∶AE×（yC-yP）=BE∶AE，则BE∶AE=3∶5或5∶3，则AE或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．3.（2019雅安）已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），点P（P与O不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴。PM⊥l于点M，点F（0，-1）．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求的值；（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．xylO(0,1)F(0,-1)解：（1） y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），∴-1=a×22，即a=，∴；（2）设的图象上的点P（x1,y1）,则M(x1，1)，，即x12=-4y1，PM=｜1-y1｜，又PF=====｜y1-1｜=PM，即PF=PM，∴点P在线段MF的中垂线上；（3）连接RF， R在线段MF的中垂线上，∴MR=FR，又 PM=PF，PR=PR，∴△PMR≌△PFR，∴∠PFR=∠PMR=90°，∴RF⊥PF，连接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中， Q在的图象上，由（2）结论知∴QF=QN， RQ=RQ，∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ，即RN=FR，即MR=FR=RN，∴；（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠F...
