2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题1．（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求△ACD的面积．（2）若AE=BN，AN=CE，求证：ADCM+2CE．解：（1）作CG⊥AD于G，如图1所示：设PG=x，则DG=4-x，在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，∴17-x2=9+8x-x2，解得：x=1，即PG=1，∴GC=4， DP=2AP=4，∴AD=6，∴S△ACDAD×CG6×4=12．（2）证明：连接NE，如图2所示： AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，在△NBF和△EAF中，，∴△NBF≌△EAF，∴BF=AF，NF=EF，∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM，∴CM=NE，又 NFNEMC，∴AFMC+EC，∴ADMC+2EC．2．（2019广州）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．解：（1）证明： △ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，∴∠DFC=∠C=60°，∴∠DFC=∠A，∴DF∥AB．（2）存在，如图，过点D作DM⊥AB交AB于点M， AB=BC=6，BD=4，∴CD=2∴DF=2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小， BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，∴MD=2，∴S△ABF的最小值6×（22）=66，∴S最大值2×3（66）=-36．（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H， △CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°， GD⊥EF，∠EFD=60°，∴FG=1，DGFG， BD2=BG2+DG2，∴16=3+（BF+1）2，∴BF1，∴BG， EH⊥BC，∠C=60°，∴CH，EHHCEC， ∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，∴△BGD∽△BHE，∴，∴，∴EC1，∴AE=AC-EC=7．3．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．证明：（1） ∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠PAB，又 ∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC．（2） △PAB∽△PBC，∴，在Rt△ABC中，AB=AC，∴，∴，∴PA=2PC．（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF=h1，PD=h2，PE=h3， ∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°，又 ∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，∴∠EAP=∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3=2h2， △PAB∽△PBC，∴，∴，∴．即：h12=h2·h3．4．（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG．①当tan∠ACF时，求所有F点的坐标__________（直接写出）；②求的最大值．解：（1）证明：如图1，连接DE， BC为圆的直径，∴∠BDC=90°，∴∠BDA=90°， OA=OB，∴OD=OB=OA，∴∠OBD=∠ODB， EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∴EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB，即∠EBO=∠EDO， CB⊥x轴，∴∠EBO=90°，∴∠EDO=90°， 点D在⊙E上，∴直线OD为⊙E的切线．（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N， F1N⊥AC，∴∠ANF1=∠ABC=90°，∴△ANF∽△ABC，∴， AB=6，BC=8，∴AC10，即AB∶BC∶AC=6∶8∶10=3∶4∶5，∴设AN=3k，则NF1=4k，AF1=5k，∴CN=CA-AN=10-3k，∴tan∠ACF，解得：k，∴，，即F1（，0）．如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M， △AMF2∽△ABC，∴设AM=3k，则MF2...
